Teorema di Fermat sui punti stazionari
Teorema: Se f è derivabile in un punto interno di x di un intervallo e se x è un punto di massimo o minimo allora f'(x) = 0
Pertanto, secondo il teorema di Fermat sui punti stazionari, condizione necessaria per l’esistenza di un punto di massimo o di minimo è che in quel punto sia f'(x) = 0
Dimostrazione del teorema di Fermat:
Rapporto incrementale = [f(X) – f(x) ] / X – x] con X > x
Supponiamo sia x un punto di minimo: sarà f(X) >/= a f(x), pertanto il numeratore sarà >/= a zero; il denominatore poichè X > x sarà >0.
Quindi il quoziente sarà >/= a zero e sarà
lim X –> x+ di [f(X) – f(x) ] / X – x] >/= 0
a causa della permanenza del segno.
In modo analogo sarà per X < x
lim X –> x- di [f(X) – f(x) ] / X – x] </= 0
Pertanto sarà f'(x) = 0
Approfondimenti consigliati:
- Pagina Wikipedia sul teorema di Fermat sui punti stazionari
- Pagina Wikipedia sull’ultimo teorema di Fermat
- Pagina Wikipedia sul piccolo teorema di Fermat
- Pagina Wikipedia sul teorema di Fermat sulle somme di due quadrati
- Pagina Wikipedia sul matematico e magistrato francese Pierre de Fermat (1601-1665)