Come trovare il massimo e il minimo di una funzione a due variabili

Formule di matematica su lavagna

Introduzione

I problemi di ottimizzazione libera sono di solito utilizzati per ricavare i parametri utili a raggiungere il rendimento massimo o il minimo rapporto tra parametri.

Esercizio d’esempio

Partiamo subito da questo problema di ottimizzazione libera: trovare il massimo e il minimo assoluti della funzione a due variabili f(x.y): 2x^2 + y^2 – 3x

Soluzione dell’esercizio con il metodo dell’Hessiano

Anzitutto dovremo ricavare le derivate parziali prime della funzione:

  • Derivando in x:  f’x(x,y)= 4x – 3
  • Derivando in y: f’y(x,y)= y

Adesso sarà il momento di risolvere il sistema formato da f’x(x,y)=0 e f’y(x,y)=0 (condizione necessaria):

Sistema di equazioni

Ossia, sostituendo le derivate parziali prime avremo che 4x – 3 = 0 e 2y = 0      :

continuo sistema di equazioni risoluzione

Quindi avremo che x = 3/4 e y = 0:

Risultati del sistema

Pertanto il punto (3/4 , 0) è un punto stazionario.

Sarà pertanto un punto di massimo o di minimo oppure un punto di sella.

Adesso calcoliamo le derivate parziali seconde:

  • f”xx(x,y) = 4
  • f”xy(x,y) = 0
  • f”yx(x,y) = 0
  • f”yy(x,y) = 2

Si calcola poi usando la matrice Hessiana il determinante (Hessiano) e si sostituiscono le coordinate dei punti trovati nel risultato trovato.

Se il determinante della matrice Hessiana è > 0 allora abbiamo 2 casi:

  • Se f”xx > 0 allora avremo un minimo
  • Se f”xx < 0 allora avremo un massimo

Infine se il determinante della matrice Hessiana è <0 allora avremo un punto di sella.

Nel nostro caso il determinante della matrice è = (4 x 2) – 0 = 8: quindi è > 0

f”xx = 8, con 8> 0.

Pertanto avremo nel punto (3/4,0) un punto di minimo.


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