Metodo di Newton o metodo delle tangenti: dimostrazione e spiegazione

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Il metodo delle tangenti `e un metodo per il calcolo approssimato di una soluzione di un’equazione della forma f(x) = 0. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo [a, b] che contiene una sola radice. 

In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un’equazione della forma f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Esso si applica dopo avere determinato un intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} che contiene una sola radice.

Il metodo consiste nel sostituire alla curva f(x) la tangente della curva stessa, partendo da un qualsiasi punto; per semplicit`a si può iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell’intervallo [a, b] e assumere, come valore approssimato della radice, l’ascissa xdel punto in cui la tangente interseca l’asse delle internamente all’intervallo [a, b].

Supponiamo che nell’intervallo [a, b] la funzione e le sue derivate prima e seconda esistano e siano continue e che la derivata prima e seconda siano diverse da zero.
Conviene tracciare la tangente nell’estremo dell’intervallo in cui la funzione e la sua derivata seconda hanno lo stesso segno; nell’esempio della figura nel punto di ascissa a.
L’equazione della tangente nel punto di ascissa risulta − f(a) = f(a)(− a) quindi ponendo = 0

Xo = a – [f(a)/f'(a)]

Abbiamo determinato il nuovo intervallo [x0, b] contenente la radice che stiamo cercando. Ripetendo il procedimento per xotteniamo una nuova approssimazione della radice (intersezione della seconda tangente con l’asse delle x)

x1 = x0 – [f(x0)/f'(xo)]

Procedendo in modo iterativo si ottiene:

x n+1 = xn – [f(xn)/f'(xn)

che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell’equazione = f(x) = 0.

   
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