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Esercizio svolto sui tassi a pronti e a termine (matematica finanziaria)




In questo esercizio poniamo il caso in cui si debba fare consulenza a una società dedita alla compravendita di titoli, che si trovi proprietaria al tempo zero di un’obbligazione avente scadenza a 3 anni.
Sapendo che la stessa obbligazione comporta all’azienda un entrata causata da cedole annue pari al 3% vi viene chiesto, trascurando gli aspetti fiscali, di trovare il prezzo odierno dell’obbligazione, sapendo che il suo YTM è pari al 4 per cento annuo.

Soluzione dell’esercizio:

Ci troviamo di fronte a un’obbligazione con durata complessiva di 3 anni, per trovare il prezzo basterà attualizzare, usando lo YTM, i flussi di cassa dell’obbligazione.

Pertanto, impostando come valore nominale dell’obbligazione 100, potremmo risolvere la richiesta del prezzo impostando la seguente equazione:

Prezzo = 3/(1+0,04) + 3/(1+0,04)^2 + 103/(1+0,04)^3

Prezzo = 2,8846 + 2,77366 + 91,566 = 97,23 €

Adesso che abbiamo trovato il prezzo dell’obbligazione ci viene data una nuova richiesta:

Una volta ottenuto il prezzo dell’obbligazione, vi viene chiesto di trovare il tasso spot della stessa a due anni, ipotizzando che i tassi spot (i tassi a pronti) siano pari al 3% al primo anno e 5% al terzo anno e che, con il tasso a pronti trovato, non vi sia la possibilità di arbitraggio.

Soluzione della seconda richiesta dell’esercizio:

Impostiamo l’equazione corrispondente ponendo x = (1+i):

97,23 = 3/(1+0,03) + 3/x^2 + 103/(1+0,05)^3

97,23 = 2,91262 + 3/x^2 +

97,23 = 2,91262 + 3/x^2 + 88,97527

5,43211 = 3/x^2

1,7807 x^2 = 3

0,59356 x^2 = 1

x^2 = 1,68474

sostituiamo:

(1+i)^2 = 1,68474

(1+i) = 1,2979

i = 0,2979

A questo punto abbiamo già capito come trovare il tasso a pronti 0,2979 dell’esercizio. E se invece ci venisse richiesto, con gli stessi dati e tassi spot, di calcolare i tassi forward impliciti, cosa dovremmo fare?

Soluzione esercizio sui tassi forward:

per soddisfare questa richiesta è necessario ricorrere alla relazione di non arbitraggio, dove:

m (0,t) = m (0,s) * m (0,s,t)

All’interno di questa relzione m (0,s) rappresenta il tempo intermedio.

Il tasso forward è dato dalla relazione:

m (0,s,t) = m (0,t)/m (0,s)

Per meglio dire ancora possiamo usare la seguente relazione:

v(0,s,t) = {[v(0,s)/v(0,t)]^[1/(t-s)]} -1

Sappiamo inoltre che:

v(0,1) = 0,9709

v (0,2) = 0,5936

v (0,3) = 1/(1.05^3) = 1/(1.05^3) = 0,8638

pertanto i tassi forward saranno:

v(0,1,2) = v(0,2) * {[v(0,2)/v(0,2)]^[1/(2-1)]} – 1

v (0,2,3) = {[v(0,2)/v(0,3)]^[1/(3-2)]} – 1

v (0,1,3) = {[v(0,1)/v(0,3)]^[1/(3-1)]} – 1

Alcuni di questi tassi potrebbero essere molto alti, ma si tratta solo di un esempio per capire come calcolare il tasso forward di un obbligazione, pensate più a campire al procedimento.

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