Dimostrazione del teorema delle proiezioni (Goniometria)

Premesso che sia ABC un triangolo qualunque partiamo dall’enunciato che vogliamo dimostrare:

<< In un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ciascuno di essi forma col primo. >>

Dimostrazione:



Vogliamo dimostrare che:

BC = AC x cos γ + BA cos β

Sia nel caso in cui sia β che γ siano angoli acuti quanto nel caso in cui uno di essi sia ottuso.

Esaminiamo ora il caso in cui  0 < β < π/2  e sia  0 < γ < π/2

La perpendicolare condotta dal vertice A alla retta del lato BC incontra la retta stessa in un punto H interno a BC. Essendo: BC = BH + HC allora applicando il teorema dei triangoli rettangoli ai triangoli ABH e AHC si otterrà:

BH = Ba x cos β

HC = AC x cos γ

Sostituendo a BC = BH + HC otteniamo:

BC = AC x cos γ + BA cos β

E abbiamo dimostrato il teorema.

Nel secondo caso in cui sia invece  π/2< β < π

La perpendicolare condotta dal vertice A alla retta del lato BC incontra la retta stessa in un punto H esterno a BC.

Essendo: BC = HC – HB

Essendo l’angolo ABH = π – β

Applichiamo il teorema dei triangoli rettangoli ai triangoli AHB e AHB ottenendo:

HC = AC cos γ

HB = AB cos (π – β) = AB (cos π cos β + sen π sen β) = AB[(-1 x cos β) + (0 x senβ)] = – AB cos β

Pertanto, sostituendo alla precendente ugualianza otteniamo: BC = AC x cos γ + BA cos β

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