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Condizione necessaria per l’esistenza dei punti di estremo: teorema di Fermat sui punti stazionari




Teorema di Fermat sui punti stazionari

Teorema: Se f è derivabile in un punto interno di x di un intervallo e se x è un punto di massimo o minimo allora f'(x) = 0

Pertanto, secondo il teorema di Fermat sui punti stazionari, condizione necessaria per l’esistenza di un punto di massimo o di minimo è che in quel punto sia f'(x) = 0

Dimostrazione del teorema di Fermat:

Rapporto incrementale = [f(X) – f(x) ] / X – x]  con X > x

Supponiamo sia x un punto di minimo: sarà f(X) >/= a f(x), pertanto il numeratore sarà >/= a zero; il denominatore poichè X > x sarà >0.

Quindi il quoziente sarà >/= a zero e sarà

lim X –> x+ di [f(X) – f(x) ] / X – x] >/= 0

a causa della permanenza del segno.

In modo analogo sarà per X < x

lim X –> x- di [f(X) – f(x) ] / X – x] </= 0

Pertanto sarà f'(x) = 0


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