L’arbitraggio è una tipologia di operazione finanziaria che permette, dietro una spesa nulla, di ottenere un guadagno certo.
Affinché non si presenti la possibilità di un arbitraggio all’interno di un mercato la condizione di base è che per ciascun titolo i fattori di sconto riguardanti gli stessi periodi siano dello stesso importo, quindi fra loro uguali.
Se quindi si desidera evitare la possibilità di arbitraggio la condizione da porre è quella di adottare un’unica struttura di scadenza, utilizzando, negli stessi intervalli di tempo considerati in cui effettuare lo sconto, tassi a pronti uguali.
Pertanto per evitare gli arbitraggi, è necessario che i tassi a pronti (detti anche “tassi spot”) nel mercato considerato siano gli stessi usati nello sconto delle somme alle medesime date temporali.
In inglese la condizione di non arbitraggio è nota come “no free lunch”, che tradotto in italiano si può ironicamente rendere con la dicitura “nessun pranzo gratis”.
Condizione di non arbitraggio: calcolare i tassi spot (a pronti)
Molto spesso per poter applicare la condizione di non arbitraggio abbiamo bisogno di sapere come calcolare i tassi a pronti dei titoli considerati.
Di sotto puoi osservare un esempio di calcolo del tasso a pronti di 3 ZCB:
Dati i ZCB rispettivamente a 1,2,3 anni, aventi valore attuale al tempo t=0 rispettivamente pari a v1 (0, t1) = 97,50, v2 (0,t2) = 191,50, v3 (0,t3) = 275,50 e valori attuali pari rispettivamente a 100, 200, 300. si provveda a calcolare i prezzi a pronti per ciascun titolo.
Soluzione:
i (0,t1) = se valore nominale unitario allora la formula è {[1/v (0,t1)]^(1/t1)} – 1 pertanto nel nostro caso = [(100/97,50)^(1/1)] – 1 = 0,025641
i (0,t2) = {[1/v (0,t2)]^(1/t2)} – 1 = [(200/191,50)^(1/2)] – 1 = 0,02195226
i (0,t3) = {[1/v (0,t3)]^(1/t3)} – 1 = [(300/275,50)^(1/3)] – 1 = 0,028805357
Condizione di non arbitraggio: calcolare i tassi forward (a termine)
Allo stesso tempo è importante conoscere come calcolare i tassi a termine in generale; prendendo i dati dell’esempio di prima (compresi i tassi spot), ecco un esempio di calcolo dei tassi a termine:
i(0,0,t1) = i (0,t1)
i (0,t1,t2) = [1+i(o,t2)]{[1+i (0,t2)]/1+i (0,t1)]^[t1/(t2-t1)] – 1
i (0,t2,t3) = [1+i(o,t3)]{[1+i (0,t3)]/1+i (0,t2)]^[t2/(t3-t2)] – 1
Pertanto i tassi a termine rispettivi saranno:
i (0,t1,t2) =0,025641
i (0,2) = [1+ 0,02195226]{[1+ 0,02195226]/1+0,025641]^(0,025641/0,02195226-0,025641) – 1 = 1,02195226 (0,996403478)^(-6.951154) – 1 = 0,047870302
i (0,3) = [1+ 0,028805357]{[1+ 0,028805357/1+0,02195226]^(0,02195226/0,028805357-0,02195226) – 1 = [1,028805357]{[1,006705888]^(0,02195226/0.00685311) – 1 = [1,028805357]*{[1,006705888]^(3,203255164) – 1 = [1,028805357]*1,021639783 – 1 = 1,051068482 – 1 = 0,051068482
Calcolo del prezzo di non arbitraggio di un BTP
Consideriamo un Btp avente valore nominale pari a 100€, il quale emetta cedole semestrali pari a 4 euro ciascuna e che scada tra 18 mesi in totale; si provveda a calcolare il prezzo di mercato del Btp considerato, sapendo che il valore attuale di un titolo zero coupon bond, avente valore nominale pari a 6000€ e scadente fra 18 mesi, è oggi pari a 5200€. Sappiamo inoltre che il tasso a 6 mesi è pari al 7%, mentre il tasso a un anno è pari al 9%.
Soluzione dell’esercizio:
Per prima cosa provvediamo, tramite la conoscenza del valore nominale del tempo impiegato prima di scadere (18 mesi = 1,5 anni) e del valore attuale dello ZCB, al calcolo del tasso:
Tasso a 15 mesi = [(Valore nominale ZCB/Valore attuale)^(1/1,5)]-1 = [(6000/5200)^(1/1,5)]-1 = [(1,15384)^(0,66666)]-1 =1,1 -1 = 0,1 = 10 %
provvediamo dunque al calcolo del prezzo di non arbitraggio del Btp:
Prezzo Btp di non arbitraggio = [4/(1+0,07)^0,5] + [4/(1+0,09)^1] + [104/(1,1)^1,5] = [4/(1,034408)] + [4/(1,09)] + [104/(1,1536897)] = 3,866946 + 3,6697 + 90,14555 = 97,68€
La relazione di coerenza e l’arbitraggio
Se non viene rispettata la relazione di coerenza è possibile avere arbitraggi. La condizione di coerenza dice che, essendo indicato con f il tasso forward e con s il tasso spot, deve essere:
(1+S0)^t = (1+S1)^t’ (1+F 0,1)^t-t’
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