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Come trovare il massimo e il minimo di una funzione a due variabili




I problemi di ottimizzazione libera sono di solito utilizzati per ricavare i parametri utili a raggiungere il rendimento massimo o il minimo rapporto tra parametri.

Partiamo subito da questo problema di ottimizzazione libera: trovare il massimo e il minimo assoluti della funzione a due variabili f(x.y): 2x^2 + y^2 – 3x

Risolviamo col metodo dell’Hessiano

Anzitutto dovremo ricavare le derivate parziali prime della funzione:

Derivando in x:  f’x(x,y)= 4x – 3

Derivando in y: f’y(x,y)= 2y

Adesso sarà il momento di risolvere il sistema:  (condizione necessaria)

 Parentesi_graffa  f’x(x,y)=0

   f’y(x,y)=0

Ossia, sostituendo le derivate parziali prime:

Parentesi_graffa

 

4x – 3 = 0

2y = 0

 

Quindi:

Parentesi_graffa

x = 3/4

y = 0

 

Pertanto il punto (3/4 , 0) è un punto stazionario.

Sarà pertanto un punto di max o di minimo oppure un punto di sella.

Adesso calcoliamo le derivate parziali seconde:

f”xx(x,y) = 4

f”xy(x,y) = 0

f”yx(x,y) = 0

f”yy(x,y) = 2

Si calcola poi usando la matrice Hessiana il determinante (Hessiano):

Matrice hessiana

 

E si sostituiscono le coordinate dei punti trovati nel risultato trovato.

Se il determinante della matrice Hessiana è > 0 allora abbiamo 2 casi:

Se f”xx > 0 allora avremo un minimo

Se f”xx < 0 allora avremo un massimo

Infine se il determinante della matrice Hessiana è <0 allora avremo un punto di sella.

Nel nostro caso il determinante della matrice è = (4×2) – 0 = 8

Quindi è > 0

f”xx = 8 che è > 0

Pertanto avremo nel punto (3/4,0) un punto di minimo.



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